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TU Berlin

Inhalt des Dokuments

Asymptotische Analysis

 Vorlesung (2 SWS) mit Übung (1 SWS) im Sommersemester 2016 an der TU Berlin

Link zum Vorlesungsverzeichnis

Termine
Zeit
Raum
Verantwortlicher
Vorlesungen
Do, 14.15 - 15.45 Uhr
MA 542
Dr. Kersten Schmidt
Übungen
Mi, 14.15 - 15.45 Uhr
MA 376
Dr. Anastasia Thöns-Zueva

Inhalt

Mathematische Modelle der Naturwissenschaften oder technologische Bauteile weisen oft sehr verschiedene Zeit- oder Ortsskalen auf. Die verschiedenen Skalen werden nach einer Umskalierung durch einen (meist) kleinen Parameter sichtbar, nennen wir ihn zum Beispiel ε. Dieser Parameter hat meist einen singulären Charakter and kann nicht einfach Null gesetzt werden. Die Lösung des Modells mit ε = 0 unterscheidet sich in diesen Fällen von der Lösung mit kleinem, aber nicht verschwindendem Parameter und die Anwendung von Standardmethoden führt oft zu völlig falschen Ergebnissen.

Für die Analysis und Lösung solcher singulär gestörten Problem können die asymptotische Analysis und asymptotische Entwicklungen sehr hilfreich sein. Das ursprüngliche Problem wird durch eine Reihe von Problemen ersetzt, welche wesentlich einfacher zu behandeln sind, und deren Lösungen (in Summe) Näherungen an die Lösung des ursprünglichen Problems darstellen. Es existieren spezielle analytische Methoden wie die "Method of matched asymptotics'' oder die Multiskalenmethode und speziell angepasste numerische Methoden.


Grenzlösung (links) für eine dünne leitende Schicht (Wirbelstrommodell) und Korrekturfunktionen erster (Mitte) und zweiter Ordnung (rechts).
Lupe

Themen:

  • Asymptotische Folgen und Reihen
  • Asymptotik von Integralen (Laplace-Integrale, Watson-Lemma, Methode der stationären Phase, steepest descent-Methode)
  • Asymptotik von (gewöhnlichen) Differentialgleichungen (reguläre asymptotische Entwicklung, singulär gestörte Differentialgleichungen, Method of matched asymptotic expansions, Mehrskalenmethode, WKB-Methode)

Literatur

  • H.J.J. Roessel and J.C. Bowman, Asymptotic Methods, lecture notes, University of Alberta, Edmonton, Canada, 2012.
    http://www.math.ualberta.ca/~bowman/m538/m538.pdf
  • C. Bender and S. Orszag, Advanced Mathematical Methods for Scientists and Engineers, Springer, 1999
  • J. A. Murdock, Perturbations: Theory and Methods, SIAM, 1987.
  • W. Eckhaus, Asymptotic Analysis of Singular Perturbations, North-Holland, 1979.
  • J. Kevorkian und J.D. Cole, Multiple Scale and Singular Perturbation Methods, Springer, Applied Mathematical Sciences 114, 1996.

Übungen

Die Abgabe kann in Form von handgeschriebenen oder ausgedruckten Blättern erfolgen oder in Form einer PDF-Datei im Anhang einer E-Mail an Anastasia Thöns-Zueva.

  • Serie 1, abzugeben bis 12. May 2016, 14.15 Uhr
  • Serie 2, abzugeben bis 26. May 2016, 14.15 Uhr
  • Serie 3, abzugeben bis 9. Juni 2016, 14.15 Uhr
  • Serie 4, abzugeben bis 23. Juni 2016, 14.15 Uhr
  • Serie 5, abzugeben bis 14. Juli 2016, 14.15 Uhr

Zielgruppe

Studierende (Bachelor, Master, Diplom) der Mathematik (inkl. Techno-, Wirtschaftsmathematik, Scientific Computing), sowie Promovierende (inkl. BMS). Studierende der Physik und Ingenieurwissenschaften mit Interesse an theoretischen Grundlagen sind willkommen.

Voraussetzungen

Vorlesungen "Analysis I-II", "Lineare Algebra",
Hilfreich: Grundkenntnisse über Differentialgleichungen, Vorlesung "Mathematische Modellierung".

Zusatzinformationen / Extras

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