Asymptotische Analysis II

Vorlesung (2 SWS) mit Übung (1 SWS) im Sommersemester 2014 an der TU Berlin

Mathematische Modelle der Naturwissenschaften oder technologische Bauteile weisen oft sehr verschiedene Zeit- oder Ortsskalen auf. Die verschiedenen Skalen werden nach einer Umskalierung durch einen (meist) kleinen Parameter sichtbar, nennen wir ihn zum Beispiel ε. Dieser Parameter hat meist einen singulären Charakter and kann nicht einfach Null gesetzt werden. Die Lösung des Modells mit ε = 0 unterscheidet sich in diesen Fällen von der Lösung mit kleinem, aber nicht verschwindendem Parameter und die Anwendung von Standardmethoden führt oft zu völlig falschen Ergebnissen.

Für die Analysis und Lösung solcher singulär gestörten Problem können die asymptotische Analysis und asymptotische Entwicklungen sehr hilfreich sein. Das ursprüngliche Problem wird durch eine Reihe von Problemen ersetzt, welche wesentlich einfacher zu behandeln sind, und deren Lösungen (in Summe) Näherungen an die Lösung des ursprünglichen Problems darstellen. Es existieren spezielle analytische Methoden wie die "Method of matched asymptotics'' oder die Multiskalenmethode und speziell angepasste numerische Methoden.

Die Vorlesung besteht aus zwei Teilen. Im ersten Teil im Wintersemester 2013/14 haben wir uns mit der asymptotischen Analysis und asymptotischen Entwicklung von Integralen und gewöhnlichen Differentialgleichungen (ODEs) sowie der Homogenisierung beschäftigen. In diesem zweiten Teil werden asymptotische Methoden für singulär gestörte partielle Differentialgleichungen (PDEs) inklusive Homogenisierung sowie numerische Methoden aus der aktuellen Forschung behandelt.