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TU Berlin

Inhalt des Dokuments

Asymptotische Analysis II

Vorlesung (2 SWS) mit Übung (1 SWS) im Sommersemester 2014 an der TU Berlin

Termine
Zeit
Raum
Verantwortlicher
Vorlesungen
Mi, 12.15 - 13.45 Uhr
MA 542
Dr. Kersten Schmidt
Übungen
Mi, 14.15 - 15.45 Uhr
MA 542
Dr. Anastasia Thöns-Zueva

 

 

Inhalt

Mathematische Modelle der Naturwissenschaften oder technologische Bauteile weisen oft sehr verschiedene Zeit- oder Ortsskalen auf. Die verschiedenen Skalen werden nach einer Umskalierung durch einen (meist) kleinen Parameter sichtbar, nennen wir ihn zum Beispiel ε. Dieser Parameter hat meist einen singulären Charakter and kann nicht einfach Null gesetzt werden. Die Lösung des Modells mit ε = 0 unterscheidet sich in diesen Fällen von der Lösung mit kleinem, aber nicht verschwindendem Parameter und die Anwendung von Standardmethoden führt oft zu völlig falschen Ergebnissen.

Für die Analysis und Lösung solcher singulär gestörten Problem können die asymptotische Analysis und asymptotische Entwicklungen sehr hilfreich sein. Das ursprüngliche Problem wird durch eine Reihe von Problemen ersetzt, welche wesentlich einfacher zu behandeln sind, und deren Lösungen (in Summe) Näherungen an die Lösung des ursprünglichen Problems darstellen. Es existieren spezielle analytische Methoden wie die "Method of matched asymptotics'' oder die Multiskalenmethode und speziell angepasste numerische Methoden.

Die Vorlesung besteht aus zwei Teilen. Im ersten Teil im Wintersemester 2013/14 haben wir uns mit der asymptotischen Analysis und asymptotischen Entwicklung von Integralen und gewöhnlichen Differentialgleichungen (ODEs) sowie der Homogenisierung beschäftigen. In diesem zweiten Teil werden asymptotische Methoden für singulär gestörte partielle Differentialgleichungen (PDEs) inklusive Homogenisierung sowie numerische Methoden aus der aktuellen Forschung behandelt.

Literatur

  • H.J.J. Roessel and J.C. Bowman, Asymptotic Methods, lecture notes, University of Alberta, Edmonton, Canada, 2012.
    http://www.math.ualberta.ca/~bowman/m538/m538.pdf
  • C. Bender and S. Orszag, Advanced Mathematical Methods for Scientists and Engineers, Springer, 1999
  • J. A. Murdock, Perturbations: Theory and Methods, SIAM, 1987.
  • W. Eckhaus, Asymptotic Analysis of Singular Perturbations, North-Holland, 1979.
  • J. Kevorkian und J.D. Cole, Multiple Scale and Singular Perturbation Methods, Springer, Applied Mathematical Sciences 114, 1996.

Zielgruppe

Studierende (Bachelor, Master, Diplom) der Mathematik (inkl. Techno-, Wirtschaftsmathematik, Scientific Computing), sowie Promovierende (inkl. BMS). Studierende der Physik und Ingenieurwissenschaften mit Interesse an theoretischen Grundlagen sind willkommen.

Voraussetzungen

Analysis I-II, Lineare Algebra.

Hilfreich: Asymptotische Analysis I sowie Grundkenntnisse über Differentialgleichungen.

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Adresse

TU Berlin
Institut für Mathematik
Sekr. MA 6-4
Straße des 17. Juni 136
D-10623 Berlin

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3. Obergeschoss
Räume 363, 365 u. 379